Fonksiyon nedir?

Bir fonksiyon, X kümesindeki (tanım) her elemanı Y kümesindeki (görüntü) tam olarak bir ve yalnızca bir elemana bağlayan bir kural veya formüldür. Y'deki her eleman bir çıktı olmak zorunda değildir ve X'teki farklı elemanlar aynı çıktıya sahip olabilir. X'teki her bir x elemanına Y'de tam olarak bir y elemanına atayan bir kurala, bir X öğesi kümesinden bir Y öğesi kümesine bir f fonksiyonu denir. Bir fonksiyon, sıralı çiftlerin bir koleksiyonu olarak da düşünülebilir (x, y). Kümedeki her y değeri için yalnızca bir x değeri bulunur “ancak farklı x’ler aynı y’yi verebilir”. Bu, farklı y değerlerine sahip hiçbir x değerinin birden fazla görünemeyeceğini gösterir. Bu bağlamda bir fonksiyonu tanımlamak için tipik olarak y = f(x) kuralını kullanırız ve sonra bu fonksiyonun bir grafiğini üretmek için sıralı çiftleri (x, f(x)) Kartezyen Düzlemde çizeriz. Bu grafik gösterimi kullanarak bir fonksiyonun grafiğine sahip olup olmadığımızı belirlemek için bir test kullanabiliriz: Dikey Çizgi Testi, bir denklemin grafik olup olmadığını belirlemeye yönelik bir yöntemdir. Ancak bundan önce fonksiyonların temel özelliklerine bakmak faydalı olacaktır.

Fonksiyonun Tanım kümesi

Bir f(x)=y fonksiyonu için f'in tanım kümesi, X kümesi olsun. Bir fonksiyonu sıralı çiftler topluluğu olarak ifade ettiğimizde (x, y), bu x değerleri tanım kümesine karşılık gelir. Yalnızca y = f(x) kuralı verilirse, tanım kümesi, fonksiyonun tanımlandığı tüm gerçek x'lerin kümesi olarak alınır. Fonksiyonun Değer Kümesi f: X -> Y fonksiyonunun değer kümesi, X'teki bazı x için y = f(x) sağlayan y değerleri kümesidir. Bir fonksiyonu sıralı çiftler topluluğu olarak ifade ettiğimizde (x, y), bu y değerleri değer kümesine karşılık gelir.

f: X -> Y fonksiyonunun değer kümesi, X'teki bazı x için y = f(x) sağlayan y değerleri kümesidir. Bu, bir fonksiyonun çıktı değerlerini ifade eder. Örneğin, bir fonksiyon f: R -> R olsun ve x için y = x^2 veriyorsa, fonksiyonun değer kümesi {0, 1, 4, 9, 16, 25...} gibi sınırsız sayıda değere sahip olabilir. Bir fonksiyonu sıralı çiftler topluluğu olarak ifade ettiğimizde (x, y), bu y değerleri değer kümesine karşılık gelir. Örneğin, (1,1), (2,4), (3,9) gibi sıralı çiftler, fonksiyonun değer kümesini gösterir.

Değer kümesi, bir fonksiyonun çıktı değerlerini ifade ederken, girdi değerleri X kümesinde tutulur. X kümesi, fonksiyonun girdi değerlerine karşılık gelebilen tüm değerleri içeren bir kümedir. Örneğin, f: R -> R fonksiyonu için X kümesi tüm reel sayılar olarak ifade edilebilir. Bu fonksiyonun tüm reel sayılar için çıktı değeri bulunabilecektir. Diğer bir örnek olarak, f: Z -> Z fonksiyonu için X kümesi tüm tam sayılar olarak ifade edilebilir. Bu fonksiyonun tüm tam sayılar için çıktı değeri bulunabilecektir.

Fonksiyonların Grafik Davranışı

Fonksiyonların nasıl değiştiğine dair araştırmamızın bir parçası olarak fonksiyonun belirli şekillerde değiştiği aralıkları tanımlayabiliriz. Bir aralık içinde girdi değerleri arttıkça fonksiyon değerleri büyürse, fonksiyonun o aralıkta arttığını söyleriz. Bu aralıkta fonksiyonun değeri artış trendine sahip olduğu anlamına gelir. Benzer şekilde, bir aralık boyunca girdi değerleri arttıkça fonksiyon değerleri düşerse, fonksiyon o aralıkta azalmaktadır. Bu aralıkta fonksiyonun değeri azalış trendine sahip olduğu anlamına gelir.

Doğrusal denklemler, bir veya daha fazla değişkenin bir doğruda, birbirlerine doğru orantılı olarak değiştiğini gösteren denklemlerdir. Örneğin, y=2x+3 denklemi, x değişkeninin y değişkenine doğru orantılı olduğunu gösterir ve x ve y değerlerinin değişmesiyle doğrusal bir şekilde değişen bir doğru olur. Doğrusal denklemler bir veya daha fazla değişken içerebilir ve bu değişkenler arasında aritmetik işlemler yapılabilir. Örneğin, y=2x+3z-4 denklemi, x ve z değişkenlerini içeren üç değişkenden oluşan bir doğrusal denklemdir. Fonksiyon grafiği lineer cebirde önemli bir yer tutar ve birçok matematiksel problemin çözümünde kullanılır.

Bu bilgi fonksiyonların analizinde önemlidir çünkü fonksiyonun nasıl değiştiğine dair bilgiye sahip olmak, bu fonksiyonun hangi aralıklarında ne gibi davranışlar göstereceğini tahmin etmemizi sağlar. Örneğin, bir fonksiyonun belirli bir aralıkta arttığını biliyorsak, bu aralıkta girdi değerlerini arttırdıkça çıktı değerlerinin de arttığını bekleyebiliriz. Benzer şekilde, bir fonksiyonun belirli bir aralıkta azaldığını biliyorsak, bu aralıkta girdi değerlerini arttırdıkça çıktı değerlerinin de azaldığını bekleyebiliriz.

Dikey Çizgi Testi

Dikey Çizgi Testine göre, bir grafiği birden fazla noktada kesen bir dikey çizgi çizemiyorsanız (yeşil), grafik bir fonksiyondur. Aksi durumda fonksiyon değildir (kırmızı):

Dikey Çizgi Testine göre, bir grafiği birden fazla noktada kesen bir dikey çizgi çizemiyorsanız (yeşil), grafik bir fonksiyondur. Aksi durumda fonksiyon değildir. Bu test, bir grafiğin fonksiyon olup olmadığını belirlemek için kullanılır. Bir fonksiyon, sadece bir girdi değeri için bir çıktı değeri verir. Bu nedenle, eğer bir grafik birden fazla noktada kesen bir dikey çizgi çizerse, bu grafikte aynı girdi değerlerine sahip birden fazla çıktı değeri olmuş olur. Böyle bir durumda grafik fonksiyon olmaz.

Dikey Çizgi Testi, bir grafiğin fonksiyon olup olmadığını belirlemek için kolay bir yöntemdir. Ancak, bu testin bazı sınırlamaları vardır. Örneğin, grafiğin birden fazla noktada kesen bir dikey çizgi çizmemesi, grafikte yalnızca bir çıktı değeri olmadığı anlamına gelmez. Aynı zamanda, grafik birden fazla noktada kesen bir dikey çizgi çizse bile, bu grafik fonksiyon olabilir. Bu durumda, grafikteki tüm noktalar fonksiyon kuralına uymaktadır.

Tüm Yazılar

Grafik Hesap Makinesi Nedir?  3 boyutlu çizim  Basit Hesap Makineleri Nedir Ve Nerelerde Kullanılır?  Bilimsel Hesap Makinesi Nedir ve Ne İçin Kullanılır?  Hesap Makinesi Tasarımları Ve Çeşitleri  Hesap Makinesinin Tarihten Günümüze Değişimi  İlk Mekanik Hesap Makinesi  Online Bilimsel Hesap Makinesi  Online Standart Basit Hesap Makinesi  Bilimsel Hesap Makinesi Nedir?  Birebir Fonksiyon  Fonksiyon nedir?  Öklid Kimdir?  Önemli Bir İşlemsel Aracımız  Trigonometri - Üçgen Matematiği/Geometrisi  Riemann - Hayatı, Çalışmaları ve Integral Meselesi  Dünyanın En Gelişmiş Hesap Makinesi  İntegral Nedir?  Programlanabilir Hesap Makineleri  Hesap Makinesi Yazılımı Nedir? Nerelerde Kullanılır?  

id: 9OjemW22p4